4.5 Serie de Taylor

En una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13 

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylo

4.6 Representación de funciones por serie de Taylor

Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

·         Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0. Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor la cual satisface :

F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fⁿ⁾⁽x0)  Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0) (x − x0)² +. . . . . . + 1/n! fⁿ⁾(x0)(x− x0)n

·         Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fⁿ⁾ son

continuas en [a, b] y fⁿ⁾1Þ existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . .  1/n! fn)(x0)(x−x0)n +Rn(x) donde Rn(x)  1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)ⁿ⁺¹ y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

·         Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple:

x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)ⁿ = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x

Aplicación al cálculo aproximado de valores de una función

1. El Rn en el teorema de Taylor se puede usar para estimar el error al aproximar una función mediante su polinomio de Taylor.

Si el número n se fija de antemano, entonces se plantea la cuestión de la precisión de la aproximación. Si se especifica la precisión entonces la cuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por su polinomio de Taylor tiene validez local, es decir, la aproximación es buena en un entorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puede evaluarse si una función cumple los requisitos del teorema de Taylor en un intervalo [x, x0] teniendo en cuenta que, en ese caso, c pertenecería al intervalo(x, a).

Pertenece a: MDX (Materials Docents en Xarxa)   

Descripción: Enginyeria informàtica. II26: Processadors de Llenguatge

Autor(es): Vilar Torres, Juan Miguel -